método de variação - vertaling naar

Em análise matemática, define-se a variação total de uma função ${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} \,}$ em um intervalo ${\displaystyle [a,b]\subseteq D\,}$ como:

${\displaystyle {\hbox{var}}_{[a,b]}(f)=\sup \sum _{i}\left|f(x_{i})-f(x_{i-1})\right|\,}$

As variações positiva e negativa de uma função ${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} \,}$ em um intervalo ${\displaystyle [a,b]\subseteq D\,}$ são definidas, respectivamente, como:

${\displaystyle {\hbox{var}}_{[a,b]}^{+}(f)=\sup \sum _{(+)}\left|f(x_{i})-f(x_{i-1})\right|\,}$

${\displaystyle {\hbox{var}}_{[a,b]}^{-}(f)=\sup \sum _{(-)}-\left|f(x_{i})-f(x_{i-1})\right|\,}$

Em todos os casos o supremo é tomado sob todas as possíveis partições ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots \,}$ do intervalo ${\displaystyle [a,b]\,}$, ${\displaystyle (+)}$ significa para todo ${\displaystyle i}$ tal que ${\displaystyle f(x_{i})\geq f(x_{i-1})}$ e ${\displaystyle (-)}$ significa para todo ${\displaystyle i}$ tal que ${\displaystyle f(x_{i})\leq f(x_{i-1})}$.